Abstract: Изучается задача Коши для уравнения теплопроводности с нелокальным по времени интегральным младшим членом, который моделирует эффект затухающей памяти и имеет вид свертки нелинейной функции от решения с гладким ядром релаксации. Ядро релаксации содержит малый параметр и при стремлении этого параметра к нулю слабо* сходится к дельта-функции Дирака, сконцентрированной в некотором моменте времени s. В свою очередь, дельта-функция Дирака моделирует ударное (импульсное) усилие в момент s. Мы устанавливаем, что при стремлении малого параметра к нулю формируется переходный импульсный слой, ассоциированный с дельта-функцией Дирака, и что семейство слабых решений рассматриваемой задачи сходится к решению двухмасштабной модели, которая состоит из двух уравнений, начального условия и условий согласования, так что "внешнее" макроскопическое решение за пределами переходного слоя определяется на макроскопической ("медленной") временной шкале и является решением классического однородного уравнения теплопроводности, в то время как решение в переходном слое определяется на микроскопической ("быстрой") временной шкале и удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Вольтерры, наследующему в своей форме структуру профиля релаксации.

Cite: Саженков С.А.
Импульсное уравнение теплопроводности с инфинитезимальным переходным слоем Вольтерры
Вторая конференция Математических центров России 07-11 нояб. 2022