Abstract: 0, . . . , n, где u− = u0 < u1 < · · · < un < un+1 = u+. Задаётся начальное условие Римана u(0, x) = { u−, x < 0 u+, x > 0 и условие Стефана на линиях x = xk(t) раздела фаз (где u = uk): dk ̇xk + (a(u)ux)(t, xk(t)+) − (a(u)ux)(t, xk(t)−) = 0, dk ≥ 0, k = 1, . . . , n. Решение указанной задачи автомодельно: u = v(x/√t) и функция v(ξ) имеет вид v(ξ) = uk + (uk+1 − uk)(F (ξ/ak) − F (ξk/ak))/(F (ξk+1/ak) − F (ξk/ak)), ξ ∈ (ξk, ξk+1), k = 0, . . . , n, где −∞ = ξ0 < ξ1 < · · · < ξn < ξn+1 = +∞, а F (ξ) = 1 2√π ∫ ξ −∞ e−s2/4ds – функция ошибок. Считаем, что F (−∞) = 0, F (+∞) = 1. Условия Стефана на линиях x = ξk √t раздела фаз сводится к требованию, что вектор ̄ξ = (ξ1, . . . , ξn) является критической точкой функции E( ̄ξ) = − n∑ k=0 (ak)2(uk+1 − uk) ln(F (ξk+1/ak) − F (ξk/ak)) + n∑ k=1 dkξ2 k /4 в области ξ1 < ξ2 < · · · < ξn. Нетрудно проверить, что множества E ≤ const компактны и что функция E строго выпукла. Поэтому, существует точка минимума функции E( ̄ξ), являющая- ся единственной её критической точкой. Нахождение точки минимума позволяет однозначно восстановить свободные границы ξ = ξk и, тем самым, эффективно решить нашу задачу. Е. М. Рудой. Многомасштабный анализ стационарных колебаний термоупругого композитного материала Изучается задача о стационарных колебаниях термоупругого волокнистого композита в рамках двухмерной теории упругости. Задача содержит два малых положительных пара- метра δ и ε, которые описывают толщину волокна и расстояние между двумя соседними волокнами, соответственно. Опираясь на вариационную формулировку проблемы, с помо- щью современных методов асимптотического анализа, исследуется поведение решений при стремлении указанных параметров к нулю. В результате строятся две модели для каждого предельного случая. А именно, сначала, при δ → 0 мы получаем предельную модель, в ко- торой включения являются тонкими (нулевой ширины). Затем, на основе первой предельной модели, при ε → 0 мы получаем гомогенизированную модель, которая описывает эффек- тивное поведение в макроскопической шкале, то есть в масштабе, где нет необходимости принимать во внимание каждое отдельное включение. Работа выполнена совместно с С. А. Саженковым, И. В. Фанкиной и А. И. Фурцевым и под- держана Российским научным фондом (грант No 22-21-00627). Ю. Г. Рыков. Процессы концентрации в двумерной сист

Cite: Рудой Е.М. , Фанкина И.В. , Фурцев А.И. , Саженков С.А.
Многомасштабный анализ стационарных колебаний термоупругого композитного материала
Вторая конференция Математических центров России 07-11 нояб. 2022